卡尔丹诺公式法

对于一般形式的一元三次方程 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$，其中 $a\ne 0$，卡尔丹诺公式法提供了一种求解方法。但请注意，这种方法在实际应用中可能比较复杂，且涉及到复数运算。

1. 消去二次项：
   通过变量替换 $x=y-\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{3a}$，可以将原方程转化为没有二次项的形式：$y^3+py+q=0$，其中 $p=\genfrac{}{}{0ex}{}{3ac-b^2}{3a^2}$，$q=\genfrac{}{}{0ex}{}{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3}$。

2. 判别式：
   计算判别式 $\Delta ={\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{2}\right)}^2+{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{3}\right)}^3$。

3. 求解：

   • 当 $\Delta >0$ 时，方程有一个实根和两个复根。
   • 当 $\Delta =0$ 时，方程有三个实根，其中至少有两个根相等。
   • 当 $\Delta <0$ 时，方程有三个不等的实根。

根据判别式的值，可以使用卡尔丹诺公式求出方程的根。但请注意，由于涉及到复数运算和开立方，这种方法在实际应用中可能比较复杂。

因式分解法

如果一元三次方程可以容易地因式分解，那么这种方法将是最快的。例如，对于方程 $x^3-3x^2+2x=0$，可以因式分解为 $x(x-1)(x-2)=0$，从而直接得到根 $x=0,1,2$。

然而，不是所有的三次方程都可以容易地因式分解。在这种情况下，可能需要使用更复杂的代数方法，如上面提到的卡尔丹诺公式法。

快速解一元三次方程的技巧

1. 尝试简单的根：首先尝试 $x=0,1,-1$ 等简单的值，看它们是否是方程的根。

2. 利用对称性：如果方程的系数具有某种对称性（例如，所有奇数次幂的系数相等或所有偶数次幂的系数相等），那么可能可以利用这种对称性来简化问题。

3. 使用图形工具：对于某些方程，可以使用图形工具（如计算器或计算机程序）来绘制函数的图像，并观察其与x轴的交点，从而估计根的位置。

4. 尝试因式分解：尽管不是所有三次方程都可以容易地因式分解，但尝试因式分解仍然是一个值得考虑的策略。有时，通过一些代数变换，可以将方程转化为更容易因式分解的形式。

请注意，对于复杂的一元三次方程，通常需要使用计算器或计算机程序来求解。在实际应用中，选择哪种方法取决于方程的具体形式和复杂程度。